ARQUITAS DE TARENTO (428 - 347 a.C.)

ARQUITAS DE TARENTO (428 - 347 a.C.)

Archytas (/ˈɑːrkɪtəs/; Greek: Ἀρχύτας; 428–347 BC) was an Ancient Greek philosopher, mathematician, astronomer, statesman, and strategist. He was a scientist of the Pythagorean school and famous for being the reputed founder of mathematical mechanics, as well as a good friend of Plato.

Life and work

Archytas was born in Tarentum, Magna Graecia and was the son of Mnesagoras or Histiaeus. For a while, he was taught by Philolaus, and was a teacher of mathematics to Eudoxus of Cnidus. Archytas and Eudoxus' student was Menaechmus. As a Pythagorean, Archytas believed that only arithmetic, not geometry, could provide a basis for satisfactory proofs.^[2]

Archytas is believed to be the founder of mathematical mechanics.^[3] As only described in the writings of Aulus Gellius five centuries after him, he was reputed to have designed and built the first artificial, self-propelled flying device, a bird-shaped model propelled by a jet of what was probably steam, said to have actually flown some 200 meters.^[4][5] This machine, which its inventor called The pigeon, may have been suspended on a wire or pivot for its flight.^[6][7] Archytas also wrote some lost works, as he was included by Vitruvius in the list of the twelve authors of works of mechanics.^[8] Thomas Winter has suggested that the pseudo-Aristotelian Mechanical Problems is an important mechanical work by Archytas, not lost after all, but misattributed.^[9]

Archytas named the harmonic mean, important much later in projective geometry and number theory, though he did not invent it.^[10] According to Eutocius, Archytas solved the problem of doubling the cube in his manner with a geometric construction.^[11] Hippocrates of Chios before, reduced this problem to finding mean proportionals. Archytas' theory of proportions is treated in book VIII of Euclid's Elements, where is the construction for two proportional means, equivalent to the extraction of the cube root. According to Diogenes Laertius, this demonstration, which uses lines generated by moving figures to construct the two proportionals between magnitudes, was the first in which geometry was studied with concepts of mechanics.^[12] The Archytas curve, which he used in his solution of the doubling the cube problem, is named after him.

Politically and militarily, Archytas appears to have been the dominant figure in Tarentum in his generation, somewhat comparable to Pericles in Athens a half-century earlier. The Tarentines elected him strategos, 'general', seven years in a row – a step that required them to violate their own rule against successive appointments. He was allegedly undefeated as a general, in Tarentine campaigns against their southern Italian neighbors. The Seventh Letter of Plato asserts that Archytas attempted to rescue Plato during his difficulties with Dionysius II of Syracuse. In his public career, Archytas had a reputation for virtue as well as efficacy. Some scholars have argued that Archytas may have served as one model for Plato's philosopher king, and that he influenced Plato's political philosophy as expressed in The Republic and other works (i.e., how does a society obtain good rulers like Archytas, instead of bad ones like Dionysius II?).

Archytas may have drowned in a shipwreck in the shore of Mattinata, where his body lay unburied on the shore until a sailor humanely cast a handful of sand on it. Otherwise, he would have had to wander on this side of the Styx for a hundred years, such the virtue of a little dust, munera pulveris, as Horace calls it in Ode 1.28 on which this information on his death is based. The poem, however, is difficult to interpret and it is not certain that the shipwrecked and Archytas are in fact the same person.

The crater Archytas on the Moon is named in his honour.

Archytas curve

The Archytas curve is created by placing a semicircle (with a diameter of d) on the diameter of one of the two circles of a cylinder (which also has a diameter of d) such that the plane of the semicircle is at right angles to the plane of the circle and then rotating the semicircle about one of its ends in the plane of the cylinder's diameter. This rotation will cut out a portion of the cylinder forming the Archytas curve.^[13]

Another way of thinking of this construction is that the Archytas curve is basically the result of cutting out a torus formed by rotating a hemisphere of diameter d out of a cylinder also of diameter d. A cone can go through the same procedures also producing the Archytas curve. Archytas used his curve to determine the construction of a cube with a volume of one third of that of a given cube.^{[citation needed]}

Notes

1. Archita; Pitagora^{[permanent dead link]}, Sito ufficiale del Museo Archeologico Nazionale di Napoli, retrieved 25 September 2012
2. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times Oxford University Press, 1972 p. 49
3. Laërtius 1925, § 83: Vitae philosophorum
4. Aulus Gellius, "Attic Nights", Book X, 12.9 at LacusCurtius^{[permanent dead link]}
5. ARCHYTAS OF TARENTUM, Technology Museum of Thessaloniki, Macedonia, Greece Archived December 26, 2008, at the Wayback Machine.
6. Modern rocketry^{[permanent dead link]}
7. Automata history
8. Vitruvius, De architectura, vii.14.
9. Thomas Nelson Winter, "The Mechanical Problems in the Corpus of Aristotle," DigitalCommons@University of Nebraska - Lincoln, 2007.
10. J. J. O'Connor and E. F. Robertson. Archytas of Tarentum. The MacTutor History of Mathematics archive. Visited 11 August 2011.
11. Eutocius, commentary on Archimedes' On the sphere and cylinder.
12. Plato blamed Archytas for his contamination of geometry with mechanics (Plutarch, Symposiacs, Book VIII, Question 2): And therefore Plato himself dislikes Eudoxus, Archytas, and Menaechmus for endeavoring to bring down the doubling the cube to mechanical operations; for by this means all that was good in geometry would be lost and corrupted, it falling back again to sensible things, and not rising upward and considering immaterial and immortal images, in which God being versed is always God.
13. http://mathforum.org/dr.math/faq/davies/cubedbl.htm

References

•  Laërtius, Diogenes (1925). "Pythagoreans: Archytas". Lives of the Eminent Philosophers. 2:8. Translated by Hicks, Robert Drew (Two volume ed.). Loeb Classical Library.

Further reading

• von Fritz, Kurt (1970). "Archytas of Tarentum". Dictionary of Scientific Biography. 1. New York: Charles Scribner's Sons. pp. 231–233. ISBN 0-684-10114-9. on line [1]
• Huffman, Carl A. Archytas of Tarentum, Cambridge University Press, 2005, ISBN 0-521-83746-4

External links

• Huffman, Carl. "Archytas". In Zalta, Edward N. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Archytas", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
• Pseudo-Aristotle, Mechanica – Greek text and English translation
• Complete fragments (Greek–Spanish bilingual edition)
• Fragments and Life of Archytas
• FARAH CALDERÓN, Walter: Entre la mentira y la verdad pitagórica: el caso de Arquitas de Tarento.
• Texto en PDF, mediante registro, en Hybris, revista de filosofía. CENALTES, Vol.3- N°2. Otoño 2012. pp 46–74 ISSN 0718-8382.

DADOS BIOGRÁFICOS

ARQUITAS FOI discípulo de Filolau e amigo de Platão, filosoficamente filiado ao pitagorismo. Por suas excelentes qualidades de homem de Estado foi eleito sete vezes consecutivas governador de Tarento. Atribuem-se-lhe muitas obras perdidas, sobre mecânica e geometria, sendo considerado o iniciador da mecânica científica. Restam-nos fragmentos de sua Harmonia e das Diatribes ou Conversas, referentes a problemas de matemática e música.

A - FRAGMENTOS

Trad. de Ísis L. Borges

1. HARMONIA (DK 47 B 1-3)

1. PORFÍRIO, Ptolem, Harm., p. 56.

EXCELENTE DISCERNIMENTO parecem ter os matemáticos e não é de maneira alguma estranho que pensem corretamente sobre a natureza de cada uma das coisas. Pois, uma vez que obtiveram excelente discernimento sobre a natureza do todo, deviam também ter uma excelente visão das coisas separadas.

De fato, sobre a velocidade dos astros, sua ascensão e declínio, transmitiram-nos claros conhecimentos; também sobre geometria, ciência dos corpos celestes e não menos sobre música. Pois essas ciências parecem ser afins; pois ocupam-se de coisas afins: as duas formas primeiras do ser (número e grandeza). Primeiramente consideravam, pois, que é impossível haver som, se não houve choque entre corpos. Mas choque, afirmavam, ocorre quando (os corpos) que se acham em movimento se encontram uns com os outros e se chocam; os que se movem em direção oposta, quando se encontram, produzem um som por relaxação simultânea, mas os que se movem na mesma direção, mas com velocidade desigual, produzem um som quando são atingidos, batidos pelos que vêm atrás. Muitos desses sons não é possível à nossa natureza reconhecer, uns por causa da fraqueza do choque, outros pela grande distância de nós, e outros ainda por sua excessiva força; pois não penetram em nosso ouvido os fortes sons como também nos recipientes de boca estreita, quando se derrama muito, nada se derrama. Quanto aos sons que chegam aos nossos sentidos, parecem-nos agudos os que pelos choques chegam a nós rápida e (fortemente), e parecem-nos ser graves, se lenta e fracamente. Pois, se alguém tomar uma vara e a mover lenta e fracamente, com o choque produzirá um som grave; mas (se a mover) rápida e fortemente, um (som) agudo. Não só poderíamos sabê-lo por este meio, mas também porque quando nós, falando ou cantando, queremos emitir um som alto e agudo, emitimo-lo com forte respiração. Ainda isso também acontece com os projéteis: os que são lançados com força são arremessados longe, os sem força, perto. Pois aos lançados com força o ar cede mais; e aos (lançados) sem força, menos. Mas o mesmo acontecerá também com os tons: emitido com respiração forte será alto e agudo e, com respiração fraca, será fraco e grave. Mas podemos também vê-lo na seguinte prova que é de muito valor: se o mesmo homem tivesse emitido um som alto, de longe poderíamos ouvi-lo; mas, se baixo, nem de perto. Mas certamente também, nas flautas, o ar lançado da boca chegando aos orifícios perto da boca, por causa da grande força, emite um som mais agudo; mas (chegando) aos orifícios longe (da boca), (emite um) mais grave. Assim é evidente que o movimento rápido produz o som agudo e o lento, o grave. Mas também nos "rombos"¹³⁵ que giram nas cerimônias dos Mistérios o mesmo acontece. Movidos lentamente, produzem um som grave, mas, fortemente, agudo. Assim também com a flauta; se se fechar sua extremidade inferior e soprar-se, dar-nos-á um tom grave; mas, se (se soprar) na sua parte média ou num outro lugar, emitirá um tom agudo; pois o mesmo ar passa fracamente pelo espaço longo e fortemente pelo menor.

¹³⁵ Rombo — instrumento que se faz soar, girando-o em torno de uma corda, durante os Mistérios.

(Tendo dito também outras coisas sobre o movimento da voz ser proporcional, dá em resumo a explicação seguinte): Que os sons agudos se movem depressa, e os graves mais lentamente, claro se tornou para nós, por muitos exemplos.

2. PORFÍRIO, Ptolem. Harm., p. 92.

A música tem três médias, uma é a aritmética, a segunda é a geométrica e a terceira é a contraposta que chamam de harmônica. A aritmética, quando três termos apresentam a mesma diferença proporcionalmente: o primeiro excede o segundo tanto quanto o segundo excede o terceiro. E nessa proporção acontece que é menor a razão dos termos maiores e maior a dos menores. A geométrica, quando o primeiro está para o segundo tal qual o segundo para o terceiro. Dessas proporções os maiores termos têm a mesma razão que os menores; a contraposta, que chamamos de harmônica, quando (os termos) são assim: o primeiro excede o segundo por tanto de si mesmo quanto o termo médio excede o terceiro. Acontece que, nesta proporção, é maior a razão dos números maiores, e menor a dos menores.

3. ESTOBEU, Florilégio, IV, 1, 139.

Deve-se, ou aprendendo de outro, ou por investigação própria, tornar-se conhecedor do que não se conhece. O que é aprendido, pois, (vem) de um outro e por auxílio alheio; o que é investigado (vem) da própria pessoa e por auxílio próprio; encontrar sem procurar (é) difícil e raro, mas, procurando, é acessível e fácil; se não se tem conhecimento é impossível procurar.

O raciocínio, quando encontrado, faz cessar a discórdia e aumenta a concórdia; pois excesso de recursos não há, quando ele surge, e igualdade existe; pois com ele nos reconciliamos com nossas obrigações. Por sua causa então os pobres recebem dos poderosos, os ricos dão aos necessitados, crendo ambos que terão através disso a igualdade. Se há regra e empecilho dos injustos, detém os que sabem raciocinar antes de cometerem injustiça, persuadindo-os de que não poderão ocultar-se, quando vêm contra ele; aos que não sabem (raciocinar), nisso mostra que cometem injustiça, e os impede de cometê-la.

2. CONVERSAS (DK 47 B 4)

4. ESTOBEU. I pr., 4 p. 18, 8. E parece que a aritmética, em relação à sabedoria, é bem superior às demais artes, mas também à geometria, por mais claramente tratar do que quer.

E naquilo que falha por sua vez a geometria, a aritmética apresenta provas e igualmente a exposição das formas; se é que há uma ciência das formas.