quinta-feira, 6 de dezembro de 2018

EUCLIDES de Alexandria (300 - 200 a.C.) e EUCLIDES de Megara (c. 430 - 360 a.C)


Euclides de Megara (c. 430 - 360 a.C. )

Euclides was a native of Megara, and founder of the Megarian or Eristic sect. He applied himself early to the study of philosophy, and learned from the writings of Parmenides the art of disputation. Hearing of the fame of Socrates, Euclides moved to Athens and became a devoted student for many years. Because of an enmity between Athenians and Megarians, a decree was passed which forbid any Megarian from entering Athens under the penalty of death. Euclides moved twenty miles out of Athens, and would sneak into the city at night for instruction, dressed as a woman in a long cloak and veil. He frequently became involved in business disputes in civil courts. Socrates, who despised forensic contests, expressed dissatisfaction with Euclides for his fondness for controversy. It is likely that this provoked a separation between Euclides and Socrates, for after this Euclides was the head of a school in Megara which taught the art of disputation. Debates were conducted with so much vehemence among his pupils, that Timon said of Euclides that he carried the madness of contention from Athens of Megara (Diog. Laert, 6:22). Nevertheless, his restraint is attested to in a story about a quarrel he had with his brother. His brother charged, "Let me perish if I do not have revenge on you." To this Euclides replied, "And let me perish if I do not subdue your resentment by forbearance, and make you love me as much as ever." In disputes, Euclides was averse to the analogical method of reasoning, and judged that legitimate argumentation consists in deducing fair conclusions from acknowledge premises.

His position was a combination of Socraticism and Eleaticism. Virtue is knowledge, but knowledge of what? It is here that the Eleatic influence became visible. With Parmenides, the Megarics believed in the one Absolute being. All multiplicity, all motion, are illusory. The world of sense has in it no true reality. Only Being is. If virtue is knowledge, therefore, it can only be the knowledge of this Being. If the essential concept of Socrates was the Good, and the essential concept of Parmenides Being, Euclides now combined the two. Thus, according to Cicero, he defined the "supreme good" as that which is always the same. The Good is identified with Being. Being, the One, God, Intelligence, providence, the Good, divinity, are merely different names for the same thing. Becoming, the many, evil, are the names of its opposite, not-being. Multiplicity is thus identified with evil, and both are declared illusory. Evil has no real existence. The good alone truly is. The various virtues, as benevolence, temperance, prudence, are merely different names for the one virtue, knowledge of being. It is said that when Euclides was asked his opinion concerning the gods, he replied, "I know nothing more of them than this, that they hate inquisitive persons."

Author Information

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EUCLIDES (300 - 200 aC)

Euclides de Alexandria (em grego antigo: Εὐκλείδης Eukleidēs; fl. c. 300 aC) foi um professor, matemático platônico e escritor possivelmente grego, muitas vezes referido como o "Pai da Geometria".[1] Ele estava ativo em Alexandria durante o reinado de Ptolomeu I (323-283 aC). Sua obra Elementos é uma mais influentes na história da matemática, servindo como o principal livro didático para o ensino de matemática (especialmente geometria) a partir do momento de sua publicação até o final do séc. 19 ou início do séc. 20. [2][3][4] Nos Elementos, Euclides deduziu os teoremas do que hoje é chamado de geometria euclidiana a partir de um pequeno conjunto de axiomas. Euclides também escreveu trabalhos sobre perspectiva, seções cônicas, geometria esférica, teoria dos números e rigor.

A geometria euclidiana é caracterizada pelo espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico, metáfora do saber na antiguidade clássica e que se manteve incólume no pensamento matemático medieval e renascentista, pois somente nos tempos modernos puderam ser construídos modelos de geometrias não-euclidianas.

Euclides é a versão portuguesa da palavra grega Εὐκλείδης, que significa "Boa Glória".[5]

Vida

Pouco se sabe sobre a vida de Euclides pois há apenas poucas referências fundamentais a ele, tendo sido escritas séculos depois que ele viveu, pelo matemático grego do séc. 4 Pappus de Alexandria e o filósofo neoplatônico do séc. 5 Proclo Lício [1]. Proclo apresenta Euclides apenas brevemente no seu Comentário sobre os Elementos, escrito no séc. V, onde escreve que Euclides foi o autor de Os Elementos, que foi mencionado por Arquimedes e que, quando Ptolomeu I perguntou a Euclides se não havia caminho mais curto para a geometria que Os Elementos, ele respondeu: "não há estrada real para a geometria". Embora a suposta citação de Euclides por Arquimedes foi considerada uma interpolação por editores posteriores de suas obras, ainda se acredita que Euclides escreveu suas obras antes das de Arquimedes [2][3]. Além disso, a anedota sobre a "estrada real" é questionável, uma vez que é semelhante a uma história contada sobre Menecmo e Alexandre, o Grande [4]. Na outra única referência fundamental sobre Euclides, Pappus mencionou brevemente no séc. IV que Apolônio "passou muito tempo com os alunos de Euclides em Alexandria, e foi assim que ele adquiriu um hábito de pensamento tão científico"[5]. Também se acredita que Euclides pode ter estudado na Academia de Platão, na Grécia.

As datas de nascimento (inclusive o local) e morte (inclusive suas circunstâncias) de Euclides são desconhecidas e estimadas pela comparação com as figuras contemporâneas mencionadas nas referências. Nenhuma imagem ou descrição da aparência física de Euclides foi feita durante sua vida portanto as representações de Euclides em obras de arte são o produtos da imaginação artística.

Convidado por Ptolomeu I para compor o quadro de professores da recém fundada Academia, que tornaria Alexandria o centro do saber da época, tornou-se o mais importante autor de matemática da Antiguidade greco-romana e talvez de todos os tempos, com seu monumental Stoichia (Os elementos, c. 300 aC.).

Depois da queda do Império Romano, os seus livros foram recuperados para a sociedade européia pelos estudiosos muçulmanos da península Ibérica. Escreveu ainda Optica (295 aC.), sobre a óptica da visão e sobre astrologia, astronomia, música e mecânica, além de outros livros sobre matemática. Entre eles citam-se Lugares de superfície, Pseudaria, Porismas e mais algumas outras.

Algumas das suas obras como Os elementos, Os dados (uma espécie de manual de tabelas de uso interno na Academia e complemento dos seis 1.ºs volumes de Os Elementos), Divisão de figuras (sobre a divisão geométrica de figuras planas), Os Fenômenos (sobre astronomia), e Óptica (sobre a visão), sobreviveram parcialmente e hoje são, depois de A Esfera de Autólico (matemático, astrônomo grego), os mais antigos tratados científicos gregos existentes. Pela sua maneira de expor nos escritos deduz-se que tenha sido um habilíssimo professor.

Referências

1.        Joyce, David. Euclid. Clark University Department of Mathematics and Computer Science [1]
2.        Morrow, Glen. A Commentary on the first book of Euclid's Elements
3.        Euclid of Alexandria. The MacTutor History of Mathematics archive.
4.        Boyer, p. 1.
5.        Heath (1956), p. 2.
6.        Bill Casselman. «One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid». University of British Columbia. Consultado em 26 de setembro de 2008.
7.        Ball, pp. 50–62.
8.        Boyer, pp. 100–19.
9.        Macardle, et al. (2008). Scientists: Extraordinary People Who Altered the Course of History. New York: Metro Books. g. 12.
10.      Euclides: “Não há estrada real para a geometria” do Prof. Jacir J. Venturi
11.      Struik p. 51 ("a sua estrutura lógica influenciou o pensamento científico talvez mais do que qualquer outro texto no mundo").
12.      Heath (1981), p. 360.
13.      Rodrigues Neto, Guilherme. «Euclid and the geometry of the visual ray». Scientiae Studia. 11 (4): 873–892. ISSN 1678-3166. doi:10.1590/S1678-31662013000400007

Os Elementos

Um dos mais antigos fragmentos sobreviventes de Os Elementos de Euclides, encontrado entre os Papiros de Oxirrinco e datado de cerca de 100 d.C. O diagrama acompanha o Livro II, Proposição 5.[6]

A obra Os Elementos, atribuída a Euclides, é uma das mais influentes na história da matemática, servindo como o principal livro para o ensino de matemática (especialmente geometria) desde a data da sua publicação até o fim do séc. 19 ou início do séc. 20 [7][8][9]. Nessa obra, os princípios do que é hoje chamado de geometria euclidiana foram deduzidos a partir de um pequeno conjunto de axiomas.
A obra composta por 13volumes, sendo:

Escrita em grego, a obra cobre toda a aritmética, a álgebra e a geometria conhecidas até então no mundo grego, reunindo o trabalho de predecessores de Euclides, como Hipócrates e Eudóxio. Sistematizou todo o conhecimento geométrico dos antigos, intercalando os teoremas já então conhecidos com a demonstração de muitos outros, que completavam lacunas e davam coerência e encadeamento lógico ao sistema por ele criado. Após sua primeira edição foi copiado e recopiado inúmeras vezes, tendo sido traduzido para o árabe em (774). A obra possui mais de mil edições desde o advento da imprensa, sendo a sua primeira versão impressa datada de 1482 (Veneza, Itália). Essa edição foi uma tradução do árabe para o latim. Tem sido − segundo George Simmons − “considerado como responsável por uma influência sobre a mente humana maior que qualquer outro livro, com exceção da Bíblia".[10]

Embora muitos dos resultados descritos em Os Elementos originarem-se em matemáticos anteriores, uma das reconhecidas habilidades de Euclides foi apresentá-los em uma única estrutura logicamente coerente, tornando-a de fácil uso e referência, incluindo um sistema rigoroso de provas matemáticas que continua a ser a base da matemática 23 séculos mais tarde.[11]

Não há menção de Euclides nas primeiras cópias ainda remanescentes de Os Elementos, e a maioria das cópias dizem que são "a partir da edição de Teão" ou as "palestras de Teão",[12] enquanto o texto considerado primário, guardado pelo Vaticano, não menciona qualquer autor. A única referência que os historiadores se baseiam para Euclides ter escrito Os Elementos veio de Proclo, que brevemente em seu Comentário sobre Os Elementos atribui Euclides como o seu autor. Euclides foi a peça chave em toda a história da Geometria.

Contribuição com a Física

Os estudos de Euclides sobre a geometria da visão foi a primeira elaboração em torno da atualmente denominada óptica geométrica.[13]

Diferentemente das análises filosóficas e de suas suposições físicas sobre a natureza da visão, as quais eram isentas de qualquer consideração geométrica, a óptica de Euclides fundamentou-se na análise geométrica da visão e, à primeira vista, parece desprovida de qualquer consideração física acerca da operação da visão. Noções como a cor, a luz ou o transparente, a forma sensível, a luz solar, a natureza do olho e a estrutura física dos órgãos sensoriais envolvidos na visão estão excluídas da óptica de Euclides, uma vez que essas entidades não poderiam ser geometricamente analisáveis ou melhor não poderiam ser tratadas pela sua geometria.

A análise geométrica da visão elaborada por Euclides supõe uma teoria física mínima acerca da operação da visão e funda-se na redução da visão a um modelo geométrico, no qual o campo visual é tomado como uma coleção, ou agregado, de “raios visuais” concebidos como linhas retas geométricas discretas e divergentes, as quais aparecem como o último termo da análise. Essa coleção de linhas retas “visuais” divergentes, em cuja origem encontra-se o olho, assume a forma de um cone geométrico, conhecido na tradição como “cone visual”, em cuja base encontra-se a figura daquilo que é visto, isto é, a superfície interceptada pelo feixe divergente de linhas retas visuais – entidades estas que possuem uma natureza híbrida, geométrico-sensível.

O que aparece ao olho é determinado como uma função das propriedades e relações geométricas que são derivadas dessa construção, a qual, ao reduzir o cone visual a uma projeção plana que resulta em triângulos definidos por um vértice situado no olho e por dois raios visuais que unem as extremidades daquilo que é visto, permite calcular a aparência do tamanho, da figura e do movimento daquilo que é visto. Essa construção da estrutura geométrica do “cone visual” é delineada por Euclides quando postula que o aspecto retilíneo dos raios visuais, o cone visual constituído pela divergência desses raios visuais discretos e a condição geral da visibilidade ou seja, que para ser visto, um objeto deve ser interceptado pela radiação ocular.

Os 13 livros – Os Elementos de Euclides


Os Elementos de Euclides (grego: Στοιχεῖα) é um tratado matemático e geométrico consistindo de 13 livros escrito pelo matemático grego Euclides em Alexandria por volta de 300 aC.. Ele engloba uma coleção de definições, postulados (axiomas), proposições (teoremas e construções) e provas matemáticas das proposições. Os treze livros cobrem a geometria euclidiana e a versão grega antiga da teoria dos números elementar. Parece que Euclides pretendia reunir três grandes descobertas do seu tempo: a teoria das proporções de Eudoxo (Livro V), a teoria dos irracionais de Teeteto (Platão) e a teoria dos cinco sólidos regulares, que ocupava um lugar importante na cosmologia de Platão.

Com a exceção do Sobre a Esfera Movente de Autólico de Pitane, os Elementos é o tratado grego sobrevivente mais antigo [1] e contém o tratamento axiomático-dedutivo sobrevivente mais antigo da matemática.[2] Ele se provou útil na construção da lógica e da ciência moderna.

Os Elementos de Euclides é o livro didático mais bem sucedido[3][4] e influente[5] já escrito. Tendo sido colocado em tipos primeiramente em Veneza em 1482, é um dos 1.ºs trabalhos de matemática e ser impresso depois da invenção da prensa móvel e perde somente para a Bíblia em número de edições publicadas,[5] com o número batendo nas mil edições.

 

História

Proclo, um matemático grego (séc. 5) que viveu vários séculos depois de Euclides, escreveu no seu comentário dos Elementos: "Euclides, que juntou os Elementos, coletando muitos dos teoremas de Eudoxo, aperfeiçoando muitos dos de Teeteto e também fornecendo demonstrações irrefutáveis de coisas que foram somente fracamente provadas por seus predecessores".

Apesar de conhecido a figuras como Cícero, por exemplo, não existe registro sobrevivente do texto ter sido traduzido para o latim antes de Boécio no séc. 5 ou 6. [6] Os árabes receberam Os Elementos dos bizantinos em aproximadamente 760; essa versão, de Proclo, foi traduzida para o árabe sob Harun al Rashid cerca de 800 d.C. [6] A 1.ª edição impressa apareceu em 1482 (baseada na edição em latim de Giovanni Campano de 1260), que foi usada por Pedro Nunes (1502-1578), que a citou diversas vezes em seus escritos. [7] Em 1570, John Dee escreveu um "Prefácio Matemático" amplamente respeitado, junto com fartas notas e material suplementar à primeira edição inglesa por Henry Billingsley.

Em 1768, Angelo Brunelli publicou uma tradução em língua portuguesa dos Livros de I a VI, XI e XII, usando a tradução latina de Frederico Comandino incluindo as notas dessa versão, de autoria de Roberto Sinson (1687-1768). Este livro foi muito usado nas escolas portuguesas, recebendo novas edições em 1790, 1792, 1824, 1835, 1839, 1852, 1855 e 1862. [7] Mas nessa época já havia outros livros de Geometria, didaticamente mais adequados ao ensino, notadamente o Éléments de Géométrie de Legendre, que também foi traduzido para o português e muito usado nas escolas brasileiras. [8]

Cópias do texto grego ainda existem, algumas das quais podem ser encontradas na Biblioteca do Vaticano e na Biblioteca Bodleiana em Oxford. Os manuscritos disponíveis são de qualidade variada, e sempre incompletos. Por meio de uma análise minuciosa dos originais e das traduções, tem sido feitas hipóteses sobre o conteúdo dos textos originais (que estão todos perdidos).

Um fragmento dos Elementos encontrado no final do séc. XIX entre os Papiros de Oxirrinco, datado de cerca de 100 d.C. O diagrama acompanha a Proposição 5 do Livro II dos Elementos. Pela falta de espaços entre as palavras, e por estas serem partidas ao final das linhas, acredita-se que tenha sido escrito por alguém que não era um escriba profissional, possivelmente para uso pessoal. Atualmente se encontra no Museu de Arqueologia e Antropologia da Universidade da Pensilvânia.[9]

Textos antigos se referem aos Elementos e a outras teorias matemáticas da época de Euclides também são importantes nesse processo. Tais análises são conduzidas por J. L. Heiberg e Sir Thomas Little Heath nas suas edições do texto. Também importantes são as scholia, ou anotações ao texto. Esses acréscimos, que quase sempre se distinguiam do próprio texto (dependendo do manuscrito), gradualmente acumularam ao longo do tempo dependendo do que as opiniões achavam que merecia ser explicado ou elucidado. Algumas delas são úteis e contribuem ao texto e outras não.

As cópias mais antigas sobreviventes são um exemplar (datado de 888) que fazia parte da biblioteca do bispo Aretas de Cesareia (Cesareia, na Capadócia), e foi baseado numa edição com comentários e acréscimos de Teão de Alexandria, um matemático do séc. 4. Em 1808 foi "descoberto" na Biblioteca do Vaticano um exemplar datado do séc. IX ou X, mas baseado numa versão anterior à de Teão, o que permitiu interessantes comparações. [10]

Em 2009 foi publicada a primeira tradução completa da obra para o português. O trabalho deve-se ao pesquisador Irineu Bicudo, professor do Departamento de Matemática do Instituto de Geociências e Ciências Exatas (Unesp/RC).

Um texto difícil

Apesar da coleção de 13 livros que constituem a obra Os Elementos serem consideradas hoje um texto elementar sobre geometria, não foi sempre assim. Conta-se que o rei Ptolomeu pediu um caminho na geometria que fosse mais curto do que Os Elementos. Euclides respondeu que "não há estrada real para a geometria." [11] Mais recentemente, Sir Thomas Little Heath escreveu na introdução da edição de 1932 da editora Everyman's Library.

"A simples verdade é a de que ele não foi escrito para meninos e meninas em idade escolar, mas para homens crescidos que teriam o conhecimento e capacidade de julgamento necessários para apreciar os assuntos altamente controvertidos que devem ser abordados em qualquer tentativa de se estabelecer os pontos essenciais da geometria euclidiana como um sistema lógico…".[12]

A primeira passagem difícil do Livro I é chamada de pons asinorum, que em latim significa "ponte de burros" (tradicionalmente, é difícil fazer burros cruzarem uma ponte).[13]

Influência dos Elementos

Uma prova dos Elementos que, dado um segmento de reta, existe um triângulo equilateral que inclui o segmento como um de seus lados. A prova é por construção: um triângulo equilátero ΑΒΓ é feito desenhando-se os círculos Δ e Ε centrados nos pontos Α e Β, e tomando-se uma intersecção do círculo como o terceiro vértice do triângulo.

Os Elementos é ainda considerado uma obra-prima da aplicação da lógica à matemática. Em um contexto histórico, se tem provado enormemente influente em muitas áreas da ciência. Os cientistas Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, Galileo Galilei e Sir Isaac Newton foram todos influenciados pelos Elementos e aplicaram seu conhecimento à sua obra. Matemáticos e filósofos como Bertrand Russell, Alfred North Whitehead e Baruch Spinoza tentaram criar seus próprios "elementos" fundamentais de suas respectivas disciplinas, adotando as estruturas dedutivas axiomatizadas introduzidas pela obra de Euclides.

O sucesso dos Elementos é devido primeiramente à sua apresentação lógica da maior parte do conhecimento matemático disponível para Euclides. Muito do material não é formado de ideias originais dele, apesar de que muitas das provas o são. No entanto, o desenvolvimento sistemático do seu assunto, de um pequeno corpo de axiomas a profundos resultados, e a consistência de sua abordagem ao longo dos Elementos encorajou o seu uso como livro didático por mais de 2000 anos. Os Elementos ainda tem sua influência sobre livros modernos de geometria. Além disso, sua abordagem axiomática lógica e suas provas rigorosas são reconhecidamente válidas até hoje.

Apesar dos Elementos ser primariamente um livro de geometria, ele também inclui resultados que seriam classificados hoje como teoria dos números. Euclides provavelmente escolheu descrever resultados obtidos na teoria dos números em termos da geometria porque ele não conseguiu desenvolver uma abordagem construtiva à aritmética. Uma construção usada em qualquer das provas de Euclides requeria uma prova que fosse verdadeiramente possível. Isso evitava o problema que os pitagóricos encontraram com os irracionais, uma vez que suas provas falaciosas geralmente requeriam colocações do tipo "Encontre a maior medida comum de …"[14]

Resumo dos Elementos

[15]

Definições

I) Ponto é o que não tem partes nem grandeza alguma.
II) Linha é o que tem comprimento e não tem largura.
III) As extremidades da linha são pontos.
IV) Linha reta é aquela que está posta igualmente entre as suas extremidades.
V) Superfície é o que tem comprimento e largura.
VI) As extremidades da superfície são linhas.
etc.

Postulados

Os três 1.ºs postulados não são axiomas no sentido moderno, mas ações atômicas cuja realização é bem conhecida e intuitiva.
Seja o seguinte postulado
Desenhar uma linha reta de um ponto a outro ponto.
Produzir uma linha reta finita continuamente em outra linha reta.
Escrever um círculo dado qualquer centro e qualquer raio.
Todos os ângulos retos são iguais.
Se uma linha reta caindo em duas linhas retas faz a soma dos ângulos interiores do mesmo lado ser inferior a dois ângulos retos as duas linhas retas, se produzidas indefinidamente, se encontram naquele lado onde os ângulos são inferiores a dois ângulos retos.

O postulado das paralelas

O último dos cinco postulados de Euclides requer atenção especial. O chamado postulado das paralelas sempre pareceu ser menos óbvio que outros. O próprio Euclides o usou apenas esparsamente ao longo do resto dos Elementos. Muitos geômetras suspeitaram que ele poderia ser provado a partir dos outros postulados, mas todas as tentativas nesse sentido falharam.
Em meados do séc. 19, foi mostrado que não existia prova assim, porque é possível construir geometrias não-euclidianas onde o postulado das paralelas é falso, enquanto os outros postulados permanecem verdade. Por essa razão, os matemáticos dizem que o quinto postulado é independente dos outros.

Duas alternativas ao postulado das paralelas são: ou um número infinito de paralelas pode ser traçado através de um ponto não em uma linha reta, formando uma geometria hiperbólica (também chamada geometria de Lobachevsky), ou nenhuma pode, com em uma geometria elíptica (também chamada geometria Riemanniana). Que outras geometrias podiam ser logicamente consistentes foi uma das descobertas mais importantes da matemática, com vastas implicações para a ciência e a filosofia. Com razão, a teoria da relatividade geral de Albert Einstein mostra que o espaço real em que vivemos é não-euclidiano.

·         Noções comuns
Coisas que são iguais a uma mesma coisa são iguais uma à outra. Em termos de álgebra moderna, a = b , c = b ⇒ a = c {\displaystyle a=b,c=b\Rightarrow a=c}
Se iguais são adicionados a iguais, os totais são iguais. Modernizando a terminologia, temos a = b ⇒ a + c = b + c {\displaystyle a=b\Rightarrow a+c=b+c}
Se iguais são subtraídos de iguais, os restantes são iguais. a = b ⇒ a − c = b − c {\displaystyle a=b\Rightarrow a-c=b-c}
Coisas que coincidem uma com a outra são iguais uma à outra. Se posso gerar a forma geométrica A mediante translações, rotações e inversões ao redor de uma reta (estas operações são conhecidas como isometrias) de uma figura B, então A e B são iguais.
O todo é maior que a parte. Utilizada no sentido de que, se A é um divisor de B, então A é menor ou igual a B.

Crítica

Apesar de seu sucesso e de sua aceitação universal por tanto tempo, os Elementos tem sido criticado por ter provas e definições insuficientes (pelos padrões da matemática moderna). Por exemplo, na primeira construção do Livro I, Euclides usa uma premissa que não foi nem postulada nem provada: que dois círculos centrados na distância dos seus raios têm dois pontos de intersecção. Mais tarde, na 4.ª construção, ele usou o movimento de triângulos para provar que se dois lados e dois ângulos são iguais, então eles são congruentes; no entanto, ele nem postulou ou mesmo definiu movimento.

O movimento crítico iniciou-se provavelmente no final do séc. 17, com John Wallis, continuando um pouco difuso durante o séc. seguinte, com o abade jesuíta Saccheri e os matemáticos Lambert e Gauss. Mas é no séc. XIX que a crítica a Euclides assume suas últimas consequências, quer nas geometrias alternativas propostas por Bolyai, Lobachewski e Riemann quer na refundamentação da geometria euclidiana por Moritz Pasch, Richard Dedekind e David Hilbert, que tentaram reformular os axiomas dos Elementos, por exemplo, adicionando um axioma de continuidade e um axioma de congruência.

O matemático e historiador W. W. Rouse Ball pôs as críticas em perspectiva, lembrando que "o fato de que por dois mil anos Os Elementos foi o livro didático padrão no assunto levanta uma forte indicação de que ele não é inútil para seus propósitos."[16]

Apócrifos

Não era raro nos tempos antigos atribuir a autores celebrados obras que não tinham sido escritas por eles. É dessa forma que os livros apócrifos XIV e XV dos Elementos foram por vezes incluídos na coleção.[17] O ilegítimo Livro XIV foi provavelmente escrito por Hípsicles com base em um tratado de Apolônio. O livro dá seguimento à comparação de Euclides de sólidos regulares inscritos em esferas, com o principal resultado sendo o de que a razão das superfícies do dodecaedro e do icosaedro inscritos na mesma esfera é igual à razão dos seus volumes: 

10 3 ( 5 − 5 ) . {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {10}{3(5-{\sqrt {5}})}}}.}
O ilegítimo Livro XV foi provavelmente escrito, pelo menos em parte, por Isidoro de Mileto. Este livro inferior cobre entre outros assuntos a contagem do número de arestas e ângulos em sólidos regulares e encontrar a medida dos ângulos diédricos formados pelas faces que se encontram em uma aresta.[17]

Edições


O jesuíta italiano Matteo Ricci (esquerda) e o matemático chinês Xu Guangqi (direita) publicaram a edição chinesa dos Elementos (幾何原本) em 1607.

Traduções

Edições contemporâneas

Baseado na tradução de Heath.
  • "Os Elementos" (primeira tradução completa para o Português diretamente do Grego Clássico; Tradutor : Irineu Bicudo). Editora Unesp. ISBN 978-85-7139-935-8.

Notas (Os Elementos)

1.       Boyer (1991). «Euclid of Alexandria». [S.l.: s.n.] 101 páginas. Com a exceção da Esfera de Autolycus, a obra sobrevivente de Euclides são os tratados matemáticos gregos sobreviventes mais antigos; ainda assim, masi da metade do que Euclides escreveu se perdeu Em falta ou vazio |título= (ajuda)
2.       Ball (1960).
3.       Encyclopedia of Ancient Greece (2006) by Nigel Guy Wilson, page 278. Published by Routledge Taylor and Francis Group. Quote:"Os Elementos de Euclides subsequentemente se tornou a base de toda educação matemática, não apenas nos períodos romano e bizantino, mas atingindo o próprio séc. XX, e pode ser argumentado que é o livros didático mais bem sucedido já escrito."
4.       Boyer (1991). «Euclid of Alexandria». [S.l.: s.n.] 100 páginas. Como professores na escola ele chamou um grupo dos maiores acadêmicos, dentre os quais o autor do mais fabulosamente bem sucedido livro didático de matemática já escrito - os Elementos (Stoichia) de Euclides. Em falta ou vazio |título= (ajuda)
5.       Boyer (1991). «Euclid of Alexandria». [S.l.: s.n.] 119 páginas. Os Elementos de Euclides não apenas foi o mais antigo trabalho matemático a sobreviver até nós, mas foi também o maior livro didático de todos os tempos. […]As primeiras versões impressas dos Elementos apareceram em Veneza em 1482, um dos 1.ºs livros de matemáticas a serem feitos em tipos; tem sido estimado desde então pelo menos mil edições foram publicadas. Talvez nenhum outro livros, com a exceção da Bíblia podem se gabar de tantas edições, e certamente nenhuma obra de matemática teve influência comparável à dos Elementos de Euclides. Em falta ou vazio |título= (ajuda)
6.       Russell, Bertrand. A History of Western Philosophy. p. 212.
7.       http://www.prof2000.pt/users/miguel/histmat/af18/produto/pdias/Trabalho1.htm acessado em 25 de maio de 2008
8.       http://www.rpm.org.br/novo/conheca/45/1/euclides.htm acessado em 25 de maio de 2008
9.       http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/papyrus/papyrus.html#where acessado em 25 de maio de 2008
10.   http://www.e-escola.pt/site/destaque.asp?dest=64 acessado em 25 de maio de 2008.
11.   «Euclid, Elements (ed. Thomas L. Heath)». Consultado em 9 de Novembro de 2009.
12.   «Heath: Everyman's Library "Euclid" Introduction». Consultado em 9 de Novembro de 2009.
13.   Oxford Philosophy Dictionary, http://www.answers.com/topic/pons-asinorum?cat=technology
14.   Daniel Shanks (2002). Solved and Unsolved Problems in Number Theory. [S.l.]: American Mathematical Society
15.   «RESUMO OS ELEMENTOS». LIVRO I. DOS ELEMENTOS. jaimecs. Consultado em 21 de março de 2016.
16.   Ball (1960) p. 55.
17.   Boyer (1991). «Euclid of Alexandria». [S.l.: s.n.] pp. 118–119. Em tempos antigos não era raro atribuir a autores famosos obras não escritas por eles; assim, algumas versões dos Elementos de Euclides incluem um décimo quarto e até um décimo quinto livro, ambos foram declarados apócrifos por acadêmicos posteriores. O chamado Livro XIV continua a comparação de Euclides de sólidos regulares inscritos em uma esfera, com o principal resultado sendo o de que a razão das superfícies do dodecaedro e do icosaedro inscritos na mesma esfera é igual à razão dos seus volumes, sendo a razão aquela da aresta de um cubo pela de um icosaedro, ou seja, 10 / [ 3 ( 5 − 5 ) ] . {\displaystyle {\sqrt {10/[3(5-{\sqrt {5}})]}}.} Raiz [10/3.(5-Raiz5)]. Acredita-se que esse livro possa ter sido composto por Hípsicles com base em um tratado (hoje perdido) de Apolônio comparando o dodecaedro e o icosaedro. […] O ilegítimo Livro XV, que é inferior, acredita-se ter sido (pelo menos em parte) trabalho de Isidoro de Mileto (fl. ca. A.D. 532), arquiteto da catedral de Santa Sofia em Constantinopla. Ele livro também lida com sólidos regulares, contando o número de arestas e ângulos nos sólidos e encontrando medidas dos ângulo diédricos das faces que se encontram nas arestas.

Referências

Ligações externas

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